ACM十月训练

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ABC 426 G

题意

\(q\) 次询问，每次询问给定区间 \([l,r]\)，求该区间的 01 背包最大价值。

\(q\le 2\times 10^5,n\le 2\times 10^4, c\le 500\)

题解

考虑一种离线的分治做法：首先考虑两个 01 背包如何合并，我们可以将区间分成 \([l, m]\) 和 \([m + 1, r]\)，分别记录后缀 dp 值和前缀 dp 值，这样最后就能枚举容量找最大值。假设当前处理区间是 \([l, r]\)，对于所有问题 \([i,j]\)，我们分成三类处理：

  1. \(j\le m\)，放到 \([l, m]\) 分治。
  2. \(i> m\)，放到 \([m + 1, r]\) 分治。
  3. 其余区间，即 \(m\in [i, j]\)​，通过上述背包合并解决。

这种方法似乎叫猫树分治。

时间复杂度：\(O(nk\log n)\)。

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#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
using namespace std;

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using u32 = unsigned;

using u128 = unsigned __int128;
using i128 = __int128;
using ld = long double;

signed main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);

	int n;
	cin >> n;
	vector<int> w(n + 1), v(n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i] >> v[i];
	}	
	int q;
	cin >> q;
	vector<array<int, 3>> query;
	for (int i = 1; i <= q; i++) {
		int l, r, c;
		cin >> l >> r >> c;
		query.push_back({l, r, c});
	}

	vector<int> ans(q);
	constexpr int K = 500;
	vector dpl(n + 1, vector<int>(K + 1)), dpr(n + 1, vector<int>(K + 1));
	auto update = [&](const vector<int> &ndp, vector<int> &dp, int i) {
		for (int j = 0; j <= K; j++) {
			dp[j] = ndp[j];
			if (j >= w[i]) {
				dp[j] = max(dp[j], ndp[j - w[i]] + v[i]);
			}
		}
	};
	auto solve = [&](auto solve, int l, int r, const vector<int> &qid) -> void {
		if (l == r) {
			for (auto i : qid) {
				auto [nl, nr, nc] = query[i];
				assert(nl == l && nr == r);
				ans[i] = nc >= w[l] ? v[l] : 0;
			}
			return;
		}
		int m = l + (r - l) / 2;
		fill(dpl[m + 1].begin(), dpl[m + 1].end(), 0);
		fill(dpr[m].begin(), dpr[m].end(), 0);
		for (int i = m; i >= l; i--) {
			update(dpl[i + 1], dpl[i], i);
		}
		for (int i = m + 1; i <= r; i++) {
			update(dpr[i - 1], dpr[i], i);
		}
		vector<int> qid_l, qid_r;
		for (auto i : qid) {
			auto [nl, nr, nc] = query[i];
			if (nr <= m) {
				qid_l.push_back(i);
			} else if (nl > m) {
				qid_r.push_back(i);
			} else {
				for (int j = 0; j <= nc; j++) {
					ans[i] = max(ans[i], dpl[nl][j] + dpr[nr][nc - j]);
				}
			}
		}
		solve(solve, l, m, qid_l);
		solve(solve, m + 1, r, qid_r);
	};	
	vector<int> qid(q);
	iota(qid.begin(), qid.end(), 0);
	solve(solve, 1, n, qid);
	for (int i = 0; i < q; i++) {
		cout << ans[i] << "\n";
	}

	return 0;
}